Introducción
Como el desarrollo histórico y las aplicaciones de la lógica de primer orden están muy ligados a la matemática, en lo que sigue se hará una introducción que contemple e ilustre esta relación, tomando ejemplos tanto de la matemática como del lenguaje natural. Primero se introducen cada uno de los conceptos básicos del sistema, y luego se muestra cómo utilizarlos para analizar argumentos.[editar] Predicados
Un predicado es una expresión lingüística que puede conectarse con una o varias otras expresiones para formar una oración.[3] Por ejemplo, en la oración «Marte es un planeta», la expresión «es un planeta» es un predicado que se conecta con la expresión «Marte» para formar una oración. Y en la oración «Júpiter es más grande que Marte», la expresión «es más grande que» es un predicado que se conecta con dos expresiones, «Júpiter» y «Marte», para formar una oración.Cuando un predicado se conecta con una expresión, se dice que expresa una propiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o más expresiones, se dice que expresa una relación (como la relación de ser más grande que). La lógica de primer orden no hace ningún supuesto, sin embargo, sobre si existen o no las propiedades o las relaciones. Sólo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingúisticas.
En la lógica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una función es, metafóricamente hablando, una máquina que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve como resultado una única cosa. A las cosas que entran a las funciones se las llama argumentos,[4] y a las cosas que salen, valores o imágenes. Considérese por ejemplo la siguiente función matemática:
- f(x) = 2x
- Planeta(Marte)
- P(m)
- f(x,y) = x + y
- Mató(Caín,Abel)
- M(c,a)
- S(a,b,c)
[editar] Constantes de individuo
Una constante de individuo es una expresión lingüística que refiere a una entidad. Por ejemplo «Marte», «Júpiter», «Caín» y «Abel» son constantes de individuo. También lo son las expresiones «1», «2», etc., que refieren a números. Una entidad no tiene que existir para que se pueda hablar acerca de ella, de modo que la lógica de primer orden tampoco hace supuestos acerca de la existencia o no de las entidades a las que refieren sus constantes de individuo.[editar] Variables de individuo
Además de las constantes de individuo que hacen referencia a entidades determinadas, la lógica de primer orden cuenta con otras expresiones, las variables, cuya referencia no está determinada. Su función es similar a la de las expresiones del lenguaje natural como «él», «ella», «esto», «eso» y «aquello», cuyo referente varía con el contexto. Las variables generalmente se representan con letras minúsculas cerca del final del alfabeto latino, principalmente la x, y y z. Del mismo modo, en la matemática, la x en la función f(x) = 2x no representa ningún número en particular, sino que es algo así como un espacio vacío donde pueden insertarse distintos números. En conclusión, podemos representar una expresión como «esto es antiguo» con la expresión:- Antiguo(x)
- A(x)
Por supuesto, al igual que con las constantes de individuo, las variables sirven también para formalizar relaciones. Por ejemplo, la oración «esto es más grande que aquello» se formaliza:
- G(x,y)
- S(x,b,c)
[editar] Cuantificadores
Considérese ahora la siguiente expresión matemática:- x > 3
- Para todo x, x < 3
- Para al menos un x, x < 3
Adviértase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se está hablando sólo de los números negativos, por ejemplo, entonces la afirmación es verdadera. Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se está hablando solamente de los números 3, 4 y 5, entonces la afirmación es falsa. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, se lo llama el dominio de discurso.[6]
Esta maquinaria puede adaptarse fácilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración puede traducirse así:
- Para todo x, x es amigable.
- Para al menos un x, x esta mintiendo.
- Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.
-
Para todo x, x es amigable. ∀x A(x) Existe al menos un x, tal que x está mintiendo. ∃x M(x)
[editar] Conectivas
La lógica de primer orden incorpora además las conectivas de la lógica proposicional. Combinando las conectivas con los predicados, constantes, variables y cuantificadores, es posible formalizar oraciones como las siguientes:-
Oración Formalización Sócrates es sabio y prudente. Ss ∧ Ps Si Sócrates es sabio, entonces también es prudente. Ss → Ps Nadie es sabio y además prudente. ¬∃x (Sx ∧ Px) Todos los sabios son prudentes. ∀x (Sx → Px)
[editar] Argumentos
Considérese el siguiente argumento clásico:- Todos los hombres son mortales.
- Sócrates es un hombre.
- Por lo tanto, Sócrates es mortal.
- ∀x (Hx → Mx)
- Hs
- ∴ Ms
[editar] Sistema formal
A continuación se define un lenguaje formal, Q, y luego se definen axiomas y reglas de inferencia sobre ese lenguaje que dan como resultado el sistema lógico SQ.[editar] Sintaxis
El alfabeto del lenguaje formal Q consta de los siguientes símbolos:- a x f P * ' ¬ ∧ ∨ → ↔ ∀ ∃ ( )
Un nombre (o constante de individuo) es una a seguida de una o más comillas. Por ejemplo, a', a'' y a'''''' son nombres. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del comienzo del alfabeto latino, con o sin subíndices, para distinguir nombres distintos: a, b, c, d, e, a1, a3, c9, etc.
Una variable (o variable de individuo) es una x seguida de una o más comillas. Por ejemplo, x', x'' y x'''''' son variables. Para facilitar la lectura, se suelen omitir las comillas y utilizar distintas letras cerca del final del alfabeto latino, con o sin subíndices, para distinguir variables distintas: x, y, z, x1, x3, z9, etc.
Un functor es una f seguida de uno o más asteriscos, y luego de una o más comillas. Por ejemplo, f *', f **'''' y f ****'' son functores. El número de asteriscos indica la aridad del functor. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras del alfabeto latino cerca de la f, con o sin subíndices, para distinguir functores distintos: f, g, h, f1, f3, h9, etc.
Un predicado es una P seguida de uno o más asteriscos, y luego de una o más comillas. Por ejemplo, P *', P **'''' y P ****'' son predicados. El número de asteriscos indica la aridad del predicado. Para facilitar la lectura, se suelen omitir los asteriscos y las comillas y utilizar distintas letras en mayúscula a lo largo del alfabeto latino para distinguir predicados distintos: P, A, B, C, S, T, etc.
La noción de término se define recursivamente mediante las siguientes cláusulas:
- Todos los nombres son términos.
- Todas las variables son términos.
- Si f es un functor de aridad n ≥ 1 y t1,...,tn son términos, entonces f(t1,...,tn) es un término.
- Nada más es un término.
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